EXERCÍCIOS DE AULA DE ARITMÉTICA 1

PROBLEMAS PARA DEBATE EM AULA – TEMA DA AULA – NÍVEL 1, 2 E 3

EXERCÍCIO 0 – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

(I)                 Existem dois números pares consecutivos?

(II)               Existem dois números ímpares consecutivos?

(III)             Existe um número natural que não é par nem ímpar?

(IV)             Escreva dois números pares. Agora some estes dois números. O resultado é par ou ímpar? Repetindo este experimento com outros números você pode opter uma soma par ou soma ímpar? Justifique sua conclusão.

(V)               O que podemos dizer da soma de dois números ímpares? O resultado é par ou ímpar?

(VI)             E a soma de um número par com um número ímpar?

(VII)           E se somarmos uma quantidade par de números ímpares?

(VIII)         E a soma de uma quantidade ímpr de números ímpares, é par ou é ímpar?

Em breve

EXERCÍCIO 1 – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

Onze engrenagens estão colocadas em um plano, arrumadas em uma cadeia como está ilustrado na figura a seguir. Todas as engrenagens podem rodar simultaneamente?

Em breve

EXERCÍCIO 2A – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

Os números de 1 a 10 estão escritos em uma linha. Pode-se colocar sinais de “mais” e de “menos” entre eles de modo que o valor da expressão resultante seja igual a zero?

Solução. Não é possível. Imaginando que fosse possível, poderíamos separar os números dados em dois grupos com a mesma soma (basta passar todos os n´umeros com sinal negativo para o outro lado da expressão que é igual a zero). Entretanto a soma dos números naturais de 1 a 10 é igual a 55. Como este número é ímpar, não podemos separar os numeros dados em dois grupos que tenham a mesma soma.

EXERCÍCIO 2B – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

Continuando o exercício 2-A. Vamos imaginar os números 1 a 11 estão escritos em uma linha. Pode-se colocar os sinais de + e – entre eles de modo que o valor da expressão resultante seja zero?

Solução. Como no caso anterior, para isto ser possível, devemos dividir os números dados em dois grupos com mesma soma. Como a soma dos números naturais de 1 a 11 é igual a 66, precisamos de dois grupos cuja soma seja igual a 33. Começando pelos maiores, observe que 11+10+9 =30. Daí, 11 + 10 + 9 + 3 = 33. Assim, 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 e, portanto, 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 11 + 10 + 9 + 3. Daí obtemos 1 + 2 − 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 − 9 − 10 − 11 = 0.

EXERCÍCIOS 2C  – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

Mostre que se a soma de 1 até n é par, então é possível separar os números de 1 até n em dois subgrupos de igual soma.

(i)                  Qual é o valor da soma 1+2+3+...2014? Essa soma é par ou ímpar?

(ii)                Qual é a soma dos múltiplos entre 1 e 301.

(iii)               Calcule as somas 1+2+3+...+20, 1+2+3+...+50 e 21+22+23+...+50.

(iv)              Para quais valores n da soma dos números de 1 até n é par?

(v)                Indique como o exercício 2B poderia ser resolvido para a lista dos números de 1 até 100

 Em breve

EXERCÍCIO 2D – Fomin, capítulo 1, problema 21

Um gafanhoto pula ao longo de uma linha. No seu primeiro pulo, ele anda 1 cm, no segundo 2 cm, no terceiro 3 cm, e assim sucessivamente. Cada pulo o leva para a direita ou para a esquerda. Mostre que após 1985 pulos, o gafanhoto não pode retornar à sua posição inicial.

Solução. Este exercício pode ser considerado como uma aplicação dos problemas anteriores. Em cada pulo, quando o gafanhoto andar para a direita, vamos colocar um sinal “+” na distância que ele percorreu, e quando ele andar para a esquerda vamos colocar um sinal “−” na distância que ele percorreu no pulo. Assim, para ele retornar para a posição inicial deve ser possível colocar sinais de “+” e de “−” na frente e entre os números naturais de 1 até 1985 de modo que a expressão resultante seja igual a zero. Entretanto, como a soma dos números de 1 até 1985 é ímpar, concluímos que isto é impossível. 

EXERCÍCIO 3  – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

Todas as peças de um dominó foram colocadas em uma cadeia de modo que o número de bolinhas nas extremidades de dois dominós adjacentes são iguais. Se uma das extremidades da cadeia contém 5 bolinhas, qual é o número de bolinhas na outra extremidade?

RESOLUÇÃO EM VÍDEO: AQUI

  

EXERCÍCIO 4  – F. Dutenhefner, L. Cadar “Encontros de Aritmética”

Você pode encontrar cinco números ímpares cuja soma seja 100?

RESOLUÇÃO EM VÍDEO: AQUI

EXERCÍCIO 8 – Questão 27.4 de S. Dorincheko

Um número foi obtido permutando-se os algarismos de outro número.

      (A) A soma desses dois números pode ser igual a 9999?

      (B) Essa soma poderia ser igual a 99999?

S   Resolução:

     (a) É possível escrever 9 como soma de dois inteiros de várias formas, por exemplo, 9 = 5+4 ou 9 = 7+2. Assim, 9999 = 5544 + 4455 ou 9999 = 7722 + 2277. Portanto, a resposta ao item (a) é sim, sendo que apresentamos dois exemplos possíveis envolvendo a soma de dois números que diferem apenas por permutações de seus algarismos. 

    (b) Inicialmente observe que 9999 e 99999 diferem pela quantidade de algarismos neles presentes, uma é par e a outra ímpar. Suponha que fosse possível executar a soma de dois números, diferindo apenas pelas permutações de seus algarismos, sendo o resultado 99999. Nessa soma não poderá ocorrer a regra do “vai um” a cada dois algarismos em valores posicionais correspondentes, caso contrário a resposta final não seria 9. Então, ao somarmos os dois últimos algarismos dos dois números iremos obter 9, ao somarmos dos dois penúltimos também será 9 e assim por diante, sem que se aplique a regra do vai um em nenhuma dessas operações. Como um dos números foi formado permutando-se os algarismos do outro, os algarismos do número original podem ser divididos em pares cuja soma é 9. Geramos uma contradição, pois como o número necessariamente terá cinco algarismos e nenhum algarismo pode formar um par consigo mesmo (uma vez que a soma de qualquer algarismo consigo mesmo é um número par e 9 é ímpar) tal construção fica inviabilizada. Portanto, a resposta ao item (b) é não.

EXERCÍCIO 9 – Problema 1 do artigo “Paridade” de Eduardo Wagner, Eureka!, Ed Especial 2007

Em um quartel existem 100 soldados e, todas as noites, três deles são escolhidos para trabalhar em sentinela. É possível que após certo tempo um dos soldados tenha trabalhado com cada um dos outros exatamente uma vez?

Solução: Não é possível. Escolha um soldado ao acaso. Em cada noite que trabalha, ele está em companhia de dois outros soldados. Como 99 é ímpar, não podemos formar pares de soldados sempre diferentes para trabalhar com o escolhido.